📑 题目：4. 寻找两个正序数组的中位数

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题目大意

给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2。

请你找出这两个有序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。

你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。

解题思路

  • 给出两个有序数组，要求找出这两个数组合并以后的有序数组中的中位数。要求时间复杂度为 O(log (m+n))。

  • 这一题最容易想到的办法是把两个数组合并，然后取出中位数。但是合并有序数组的操作是 O(m+n) 的，不符合题意。看到题目给的 log 的时间复杂度，很容易联想到二分搜索。

  • 由于要找到最终合并以后数组的中位数，两个数组的总大小也知道，所以中间这个位置也是知道的。只需要二分搜索一个数组中切分的位置，另一个数组中切分的位置也能得到。为了使得时间复杂度最小，所以二分搜索两个数组中长度较小的那个数组。

  • 关键的问题是如何切分数组 1 和数组 2 。其实就是如何切分数组 1 。先随便二分产生一个 midA，切分的线何时算满足了中位数的条件呢？即，线左边的数都小于右边的数，即，nums1[midA-1] ≤ nums2[midB] && nums2[midB-1] ≤ nums1[midA] 。如果这些条件都不满足，切分线就需要调整。如果 nums1[midA] < nums2[midB-1]，说明 midA 这条线划分出来左边的数小了，切分线应该右移；如果 nums1[midA-1] > nums2[midB]，说明 midA 这条线划分出来左边的数大了，切分线应该左移。经过多次调整以后，切分线总能找到满足条件的解。

  • 假设现在找到了切分的两条线了，数组 1 在切分线两边的下标分别是 midA - 1 和 midA。数组 2 在切分线两边的下标分别是 midB - 1 和 midB。最终合并成最终数组，如果数组长度是奇数，那么中位数就是 max(nums1[midA-1], nums2[midB-1])。如果数组长度是偶数，那么中间位置的两个数依次是：max(nums1[midA-1], nums2[midB-1]) 和 min(nums1[midA], nums2[midB])，那么中位数就是 (max(nums1[midA-1], nums2[midB-1]) + min(nums1[midA], nums2[midB])) / 2。图示见下图：

    img

代码

  1. package leetcode
  3. func findMedianSortedArrays(nums1 []int, nums2 []int) float64 {
  4.  // 假设 nums1 的长度小
  5.  if len(nums1) > len(nums2) {
  6.   return findMedianSortedArrays(nums2, nums1)
  7.  }
  8.  low, high, k, nums1Mid, nums2Mid := 0, len(nums1), (len(nums1)+len(nums2)+1)>>1, 0, 0
  9.  for low <= high {
  10.   // nums1:  ……………… nums1[nums1Mid-1] | nums1[nums1Mid] ……………………
  11.   // nums2:  ……………… nums2[nums2Mid-1] | nums2[nums2Mid] ……………………
  12.   nums1Mid = low + (high-low)>>1 // 分界限右侧是 mid，分界线左侧是 mid - 1
  13.   nums2Mid = k - nums1Mid
  14.   if nums1Mid > 0 && nums1[nums1Mid-1] > nums2[nums2Mid] { // nums1 中的分界线划多了，要向左边移动
  15.    high = nums1Mid - 1
  16.   } else if nums1Mid != len(nums1) && nums1[nums1Mid] < nums2[nums2Mid-1] { // nums1 中的分界线划少了，要向右边移动
  17.    low = nums1Mid + 1
  18.   } else {
  19.    // 找到合适的划分了，需要输出最终结果了
  20.    // 分为奇数偶数 2 种情况
  21.    break
  22.   }
  23.  }
  24.  midLeft, midRight := 0, 0
  25.  if nums1Mid == 0 {
  26.   midLeft = nums2[nums2Mid-1]
  27.  } else if nums2Mid == 0 {
  28.   midLeft = nums1[nums1Mid-1]
  29.  } else {
  30.   midLeft = max(nums1[nums1Mid-1], nums2[nums2Mid-1])
  31.  }
  32.  if (len(nums1)+len(nums2))&1 == 1 {
  33.   return float64(midLeft)
  34.  }
  35.  if nums1Mid == len(nums1) {
  36.   midRight = nums2[nums2Mid]
  37.  } else if nums2Mid == len(nums2) {
  38.   midRight = nums1[nums1Mid]
  39.  } else {
  40.   midRight = min(nums1[nums1Mid], nums2[nums2Mid])
  41.  }
  42.  return float64(midLeft+midRight) / 2
  43. }